Lekcja 3: Tabele życia

https://www.measureevaluation.org/resources/training/online-courses-and-resources/non-certificate-courses-and-mini-tutorials/multiple-decrement-life-tables/lesson-3/< /ur>

Celem tej lekcji jest przegląd elementów zwykłych tablic trwania życia, które są niezbędne do zrozumienia tablic trwania życia z wieloma dekrementacjami.

W pierwszej sekcji (3.1) koncentrujemy się na zrozumieniu tego, co ujawniają kolumny zwykłej tabeli życia. Druga sekcja (3.2) pokazuje, jak skonstruować tablicę życia.

Aby uzyskać bardziej szczegółowe omówienie zwykłych tablic trwania życia, zobacz Analiza populacji dla planistów, inny bezpłatny kurs online opracowany w ramach projektu DAPR.

Pobierz plik zip zawierający dane do lekcji 3 w formatach Excel i CSV.

3.1 Tabela zwykłego życia

Zwykła tablica trwania życia to narzędzie statystyczne, które podsumowuje doświadczenia śmiertelności w populacji i dostarcza informacji o długowieczności i oczekiwanej długości życia. Chociaż jest powszechnie używany do badania śmiertelności, format tabeli trwania życia można wykorzystać do podsumowania dowolnej zmiennej czasu trwania, takiej jak czas trwania małżeństwa, czas stosowania antykoncepcji itp.

Przykład tabeli życia

Typowa tablica trwania życia zawiera kilka kolumn, każda z unikalną interpretacją. Dowiemy się o tych kolumnach i ich interpretacjach, badając ilustracyjną tablicę życia. Najpierw wprowadzenie do notacji:

Tabela poniżej (Tabela 3.1.2) przedstawia tablicę zwykłego życia populacji Stanów Zjednoczonych w 1997 roku (zaadaptowaną z NCHS; National Vital Statistics Reports tom 47, nr 19, 30 czerwca, 1999).

Interpretacja i relacje między kolumnami

Kolumna _nq_x ma interpretację probabilistyczną:

Prawdopodobieństwo, że osoba w wieku x umrze w
przedziałie wiekowym ( x, x + n )

Przykład

Wykres _nq_x w całym okresie życia jest przedstawiony na rysunku 3.1.1. Wykres przedstawiający śmiertelność w zależności od wieku miałby podobny kształt.

Rysunek 3.1.1: _nq_x w całym okresie życia w USA 1997

Kolumna l_x ma również interpretację probabilistyczną:

Te proporcje nazywane są prawdopodobieństwami przeżycia. Wykres prawdopodobieństw przeżycia w całym okresie życia przedstawiono na rysunku 3.1.2.

Rysunek 3.1.2: l_x w całym okresie życia w USA 1997

Istnieją proste relacje między kolumną _nd_x a l_x i _nq< sub>x kolumn w tabeli życia:

(a) (W tabeli 3.1.2 pomnóż kolumnę 3 przez kolumnę 2.)

(b) Ponieważ wszyscy w końcu umierają, suma liczby zgonów we wszystkich przedziałach wiekowych będzie równa radixowi tablicy życia, tj.:

Przykład

Suma kolumny _nd_x jest równa 100 000 = l₀

(c) Relacje w (b) można rozszerzyć w następujący sposób:

Ponieważ każdy, kto dożyje do wieku x, w końcu umrze, suma zgonów od tego wieku do końca tabeli będzie równa liczbie osób, które przeżyły ten wiek, tj.:

Przykład

(d) Liczba osób umierających przed określonym wiekiem x to suma zgonów od początku tabeli do określonego wieku:

Przykład

W tabeli 3.1.2 liczba
osób umierających przed 10 rokiem życia:

(e) Z punktu (d) powyżej, proporcja (prawdopodobieństwo), że noworodek umrze przed osiągnięciem wieku x jest obliczana jako:

Przykład

W tabeli 3.1.2 prawdopodobieństwo
śmierci przed osiągnięciem wieku 10 lat:

(f) Chociaż nie jest to pokazane w tabeli trwania życia, jedną użyteczną wielkością do obliczenia z tabeli jest odsetek przeżywalności w każdym przedziale wiekowym. Ta proporcja jest oznaczona jako _np_x. Zauważ, że:

Pamiętaj też, że można pisać:

Lub kolumna l_x jest powiązana z kolumną _np_x relacją:

Zatem można obliczyć skumulowaną funkcję przeżycia jako iloczyn prawdopodobieństw przeżycia każdego przedziału:

Przykład

Podstawa tablicy trwania życia wynosi zwykle 100 000, ale może być inną liczbą. Gdzie w zwykłej tabeli życia zawsze można zajrzeć, aby dowiedzieć się, czym jest podstawa?

1. W pierwszym rzędzie kolumny 7
2. W pierwszym rzędzie kolumny 3
3. W ostatnim rzędzie kolumny 7
4. W ostatnim rzędzie kolumny 1

Według kolumny 7 tabeli 3.1.2 noworodek w USA w 1997 r. może spodziewać się wieku 76,5 lat. Kiedy dziecko osiągnie wiek 50 lat, w jakim wieku spodziewa się osiągnąć?

1. Bez zmian – 76,5
2. 29,7
3. 79,7
4. 63,8

Zgodnie z Tabelą 3.1.2 wśród osób urodzonych w Stanach Zjednoczonych w 1997 roku, które dożyły wieku 70 lat, jaki odsetek ma umrzeć przed osiągnięciem wieku 75 lat?

1. 14%
2. 20%
3. 6%
4. 9%

Zgodnie z Tabelą 3.1.2, jakie jest prawdopodobieństwo, że noworodek w USA w 1997 roku dożyje 20 lat?

1. 0.992
2. 0,950
3. 0.986
4. 0.917

3.2 Konstrukcja zwykłej tabeli życia

Wiedza na temat zwykłej konstrukcji tablic trwania życia jest niezbędna przy konstruowaniu tablic trwania życia o wielu dekrementacjach. Istnieje wiele metod pozwalających na skonstruowanie zwykłej tablicy trwania życia przy użyciu danych dotyczących śmiertelności w zależności od wieku. Najpopularniejszymi metodami są metody Reed Merrell, Greville, Keyfitz, Frauenthal i Chiang (omówienie tych metod można znaleźć w Namboodiri i Suchindran, 1987).

W tej sekcji konstruujemy zwykłą tablicę trwania życia z danymi na temat umieralności w zależności od wieku w oparciu o prostą metodę zasugerowaną przez Fergany (1971. „On the Human Survivorship Function and Life Table Construction”, Demografia 8 (3): 331-334). W tej metodzie śmiertelność w zależności od wieku ( _nm_x ) zostanie przeliczona na odsetek zgonów w przedziale wiekowym ( _nq< sub>x ) za pomocą prostej formuły:

Formuła (1)

gdzie e jest symbolem podstawy logarytmu naturalnego (stała równa 2,71828182. ), a n jest długością przedziału wiekowego. (Uwaga: nie myl tutaj symbolu e z e_x 0 używanym w notacji „oczekiwany czas życia”).

Po obliczeniu _nq_x ze współczynnikami zgonów w zależności od wieku, pozostałe kolumny tabeli trwania życia można łatwo obliczyć, korzystając z następujących zależności:

Przykład przekształcenia współczynnika umieralności zależnej od wieku na proporcjonalną liczbę zgonów w przedziale wiekowym

Tabela 2.5.2 w lekcji 2.5 pokazuje, że specyficzny dla wieku wskaźnik zgonów w grupie wiekowej 1-4 (₄m₁) dla kostarykańskich mężczyzn w 1960 roku wynosi 0,00701 za osobę. (Należy pamiętać, że tabele przedstawiające współczynniki zgonów w zależności od wieku będą zwykle przedstawiać ten współczynnik jako „liczbę zgonów na 1000 osób”, ale w obliczeniach wykorzystywanych do konstruowania zwykłej tabeli trwania życia, współczynnik zgonów w zależności od wieku to „liczba zgonów za osobę."

Używając formuły (1) z góry,

Metoda Fergany, krok po kroku

W tym przykładzie używamy wskaźników zgonów w zależności od wieku z Tabeli 2.5.2 w lekcji 2.5, aby dokończyć budowę tabeli życia dla mężczyzn z Kostaryki z 1960 roku. Będziemy postępować zgodnie z metodą Fergany.

Uzyskaj wskaźniki zgonów w zależności od wieku. Należy pamiętać, że wskaźniki zgonów w zależności od wieku dotyczą jednej osoby (kolumna 2 tabeli 2.5.2).

Przelicz współczynniki zgonów w zależności od wieku (nM x ) na odsetek zgonów w przedziale wiekowym ( _n q_x ) za pomocą następującego wzoru (wzór (1) z góry):
, gdzie n to długość przedziału wiekowego

Przykłady kroku 2

Dla przedziału wiekowego 0–1:
n = 1
Wskaźnik zgonów w zależności od wieku ( ) = 0,07505
= 0,072303

Dla przedziału wiekowego 1-4:
n = 4
Wskaźnik zgonów w zależności od wieku ( ) = 0,00701
= 0,027651

Dla przedziału wiekowego 5-9:
n = 5
Wskaźnik zgonów w zależności od wieku ( ) = 0,00171
= 0,008514

Dla przedziału wiekowego 85+:
Ponieważ wszyscy w populacji w końcu umierają, wartość _nq_x tego przedziału wiekowego jest ustawiona na 1. ( Wartość _nq_x dla klasy otwartej jest zawsze ustawiona na 1.)

Użyj _nq_x, aby obliczyć l_x wartości w kolumnie 3.

Pierwszy zestaw = 100 000

( Uwaga: tę formułę obliczeniową można łatwo zaimplementować w arkuszu kalkulacyjnym. Najpierw oblicz l₁ i skopiuj do pozostałych komórek w kolumnie.)

Przykłady kroku 3

(Zaokrąglone do liczby całkowitej)

Oblicz liczbę zgonów w przedziałach wiekowych ( ) w kolumnie 4 jako:

(Kolumna 3 * Kolumna 2)

Uwaga: czasami łatwo jest zaimplementować kroki 3 i 4 jednocześnie:
Najpierw zapis = 100 000
Następnie oblicz:

(Zaokrąglone do liczby całkowitej)

W kolumnie 5 oblicz osobolat życia we wskazanym przedziale wiekowym ( ) jako:

(Kolumna 4 / wskaźnik zgonów w zależności od wieku)

Przykład kroku 5

(Zaokrąglone do liczby całkowitej)

W kolumnie 6 oblicz skumulowaną osobo-lata życia po określonym wieku (T_x):

Przykłady kroku 6

Ostatnia kolumna tabeli trwania życia (kolumna 7) to przewidywana długość życia w określonym wieku. Ta kolumna jest obliczana jako:

(Kolumna 6 / Kolumna 3)

Konstruowanie tablicy życia jest zakończone wraz z wdrożeniem kroku 7.

Wybrane funkcje tabeli życia

Zbadamy niektóre cechy skonstruowanej tablicy trwania życia, które są istotne dla konstrukcji i interpretacji tablicy trwania życia z wieloma dekrementacjami:

1. Suma wartości w kolumnie 4 będzie równa 100 000 (= ).

2. Suma wartości w kolumnie 4 z określonego wieku będzie równa wartości w tym wieku, jak pokazano w kolumnie 3.

Na przykład:

Można więc interpretować jako skumulowaną liczbę zgonów po określonym wieku.

3. Wiek, w którym umierają ludzie w kohorcie tablicowej życia, jest również ważny dla naszego zrozumienia wzoru wieku śmierci. Kolumna (kolumna 4 tabeli trwania życia) podaje rozkład częstości wieku zgonu w populacji.

Wykres tego rozkładu częstotliwości pokaże wzór wieku zgonów w populacji. Niestety, ten rozkład częstości jest podany w przedziałach wiekowych o nierównej długości (i na końcu przedziału otwartego). Dlatego wykres dostosowujący się do nierównych przedziałów wiekowych jest bardziej odpowiedni dla tej tabeli życia.

Wykres 3.2.1 przedstawia rozkład wieku zgonów z powyższej tabeli życia (tabela 3.2.1). Zauważ, że w tym przykładzie otwarty przedział wiekowy 85+ jest zamknięty na 85-100. Odsetek zgonów w każdej grupie wiekowej jest pobierz oficjalną stronę podzielony przez długość przedziału wiekowego. Wykres jest rysowany przez połączenie wartości w środku każdego interwału.

Wykres 3.2.1: Rozkład wieku zgonów mężczyzn z Kostaryki w 1960 r.

Wykres pokazuje, że duża część kohorty umiera w dzieciństwie. Zgony maleją aż do wczesnej dorosłości, wzrastają do 80 roku życia, a następnie ponownie zaczynają spadać w skrajnym wieku. Zwróć uwagę, że gwałtowny spadek po prawej stronie jest spowodowany niewielką liczbą wyjątkowo starych ocalałych w tej populacji.

4. Skumulowaną liczbę zgonów od początku życia można również obliczyć, sumując odpowiednie liczby w kolumnie 4. Na przykład liczba osób w kohorcie umierających przed osiągnięciem 15 roku życia wynosi:

Pamiętaj, że tę liczbę można również obliczyć jako:

Zatem odsetek zgonów przed osiągnięciem 15 roku życia wynosi:

Ćwiczenie 7

Uwaga dla uczniów: to dłuższe ćwiczenie będzie wymagało użycia oprogramowania do arkuszy kalkulacyjnych. Powodzenia!

Użyj danych dotyczących zgonów kobiet z Kostaryki z 1960 r. w zależności od wieku, z ćwiczenia 5, aby skonstruować tablicę trwania życia przy użyciu metody Fergany'ego, jak opisano powyżej. (Pobrałeś plik danych, którego potrzebujesz tutaj w ramach ćwiczenia 5.)

Następnie użyj swojej skonstruowanej tablicy życia, aby wykonać następujące czynności:

1. Narysuj wykresy kolumn i. Krótko opisz te wykresy.
2. Narysuj wykres rozkładu zgonów według wieku (z uwzględnieniem nierównych przedziałów wiekowych), korzystając z kolumny w tabeli trwania życia. Skomentuj wzorzec wieku śmiertelności przedstawiony na tym wykresie.
3. Zweryfikuj, że jest to suma kolumny _nd_x od 65 roku życia do końca tabeli.

Po zakończeniu pracy porównaj swoje wyniki z poniższym kluczem odpowiedzi.

Odpowiedzi na ćwiczenia

Ćwiczenie 6

Podstawa tablicy trwania życia wynosi zwykle 100 000, ale może być inną liczbą. Gdzie w zwykłej tabeli życia zawsze można sprawdzić, czym jest podstawa?

B. W pierwszym wierszu kolumny 3. Podstawa to po prostu początkowa liczba noworodków w tabeli życia. Ponieważ kolumna 3 podaje początkową liczbę osób w każdym przedziale wiekowym, pierwszy wiersz podaje liczbę osób w wieku 0. W tym przypadku jest to 100 000, jak zwykle.

Według kolumny 7 tabeli 3.1.2 noworodek w USA w 1997 r. może spodziewać się osiągnięcia wieku 76,5 lat. Kiedy dziecko osiągnie wiek 50 lat, w jakim wieku spodziewa się osiągnąć?

C. 79.7.Kolumna 7 mówi średnio, ile lat życia jest oczekiwanych dla osób, które dotarły do ​​początku przedziału wiekowego. Zatem 50-latek spodziewałby się średnio kolejnych 29,7 lat życia (50 + 29,7 = 79,7).

Zgodnie z tabelą 3.1.2 wśród osób urodzonych w Stanach Zjednoczonych w 1997 roku, które dożyły wieku 70 lat, jaki odsetek ma umrzeć przed osiągnięciem wieku 75 lat?

A. 14%. Kolumna 2 podaje odsetek osób żyjących na początku przedziału wiekowego, które zmarły w przedziale wiekowym. Zatem 70-latek ma 0,14365 (w zaokrągleniu do 14%) szansy na śmierć w przedziale wiekowym 70-75 lat.

Zgodnie z tabelą 3.1.2, jakie jest prawdopodobieństwo, że noworodek w USA w 1997 roku dożyje 20 lat?

C. 0,986. Ponieważ kolumna 3 podaje liczbę osób, które przeżyły do ​​początku przedziału wiekowego (98 558 dożyły wieku 20) i znasz liczbę osób, które przeżyły (100 000), prawdopodobieństwo osiągnięcia wieku 20 wynosi 98 558/100 000 = .98558.

Ćwiczenie 7

Wykorzystaj dane dotyczące zgonów kobiet z Kostaryki z 1960 r. w zależności od wieku z ćwiczenia 5, aby skonstruować tablicę trwania życia przy użyciu metody Fergany'ego, jak opisano powyżej. (Pobrałeś plik danych, którego potrzebujesz tutaj w ramach ćwiczenia 5.)

Następnie użyj swojej skonstruowanej tabeli życia, aby wykonać następujące czynności:

1. Narysuj wykresy kolumn i. Krótko opisz te wykresy.
2. Narysuj wykres rozkładu zgonów według wieku (z uwzględnieniem nierównych przedziałów wiekowych) za pomocą kolumny _nd_x w tabeli trwania życia. Skomentuj wzorzec wieku śmiertelności przedstawiony na tym wykresie.
3. Zweryfikuj, że jest to suma kolumny _nd_x od 65 roku życia do końca tabeli.

Następnie użyj swojej skonstruowanej tabeli życia, aby wykonać następujące czynności:

1. Narysuj wykresy kolumn i . Krótko opisz te wykresy.

Odsetek osób, które umierają w przedziale wiekowym, jest nieco wyższy w pierwszych dwóch przedziałach wiekowych, niski i płaski do około 45 roku życia, a następnie rośnie dość gwałtownie, aż do poziomu 1,0 dla grupy wiekowej 85+.< /p>

Oczywiście liczba osób żyjących na początku każdego interwału zaczyna spadać szybciej w wieku około 45 lat.

2. Narysuj wykres rozkładu wiekowego zgonów (z uwzględnieniem nierównych przedziałów wiekowych) za pomocą kolumny _nd_x w tabeli trwania życia. Skomentuj wzorzec wieku śmiertelności przedstawiony na tym wykresie.

Największy wskaźnik śmiertelności występuje w pierwszym przedziale wiekowym. Po drugim przedziale wiekowym wskaźniki śmiertelności są niskie i płaskie, zanim zaczną rosnąć w okolicach 47,5 (punkt środkowy przedziału wiekowego), osiągając wartość maksymalną 82,5. Gwałtowny spadek w ostatniej grupie wiekowej wynika częściowo z małej liczby ocalałych, a częściowo z tego, że jest to przedział otwarty. Gdyby tabela była kontynuowana w odstępach pięcioletnich, spadek wydawałby się bardziej stopniowy.

3. Sprawdź, czy jest to suma kolumny _nd_x od 65 roku życia do końca tabeli.